VIENTO OBLICUO

Enfoque integral para la enseñanza de la matemática en secundaria

Se propone un enfoque o esquema integral de cuatro ejes para la enseñanza de la matemática en secundaria. La metodología actual de su enseñanza privilegia la solución de problemas. Se considera que la solución de problemas es la etapa más alta del quehacer matemático (Gagné, 1985), tanto en el aula como fuera de ella; sin embargo, son diversas las circunstancias que no permiten llegar a tales niveles. Hay ciertas exigencias cognitivas en el aprendizaje (Anthony Orton, 1996) de la matemática, que quizá se hallan descuidadas, tales como la memorización y la retención, el aprendizaje de algoritmos, el aprendizaje de conceptos del lenguaje matemático y la propia solución de problemas matemáticos. En la presente disertación no se hace una crítica a los contenidos actuales de los planes y programas de matemática, más bien a una forma de abordar o enseñar dichos contenidos.
Situación actual
La enseñanza de la matemática en secundaria se enfoca en los estudios que realizó George Polya en 1945 sobre los procesos de resolución, que derivan en cuatro pasos generales para resolver los problemas: comprender el problema, concebir un plan, ejecutar el plan y visión retrospectiva.
La solución de un problema de matemática se debería entender como el generador de un procedimiento mediante el cual el alumno combina sus conocimientos previos, reglas, algoritmos y conceptos para llegar a la solución de una situación nueva.
En los enfoques propuestos por el Libro del Maestro de Matemáticas de Secundaria (1996) se pretende que el alumno adquiera seguridad en el empleo de técnicas y procedimientos básicos mediante la solución de problemas, que reconozca los aspectos que componen dicho problema, que identifique situaciones análogas y que adopte una estrategia adecuada para llegar a la solución.
La estrategia didáctica que subyace en la solución de problemas en secundaria, aparte de las distintas fases expuestas por Polya, es de corte constructivista y cognitivista pues los textos oficiales suponen que el sujeto que aprende pone en marcha ciertas estructuras mentales o esquemas cognitivos en la solución, a la vez que intervienen experiencias previas y nociones conocidas que al ser utilizadas permiten la asimilación.
La pregunta es: ¿Cómo llega un alumno a resolver un problema matemático y asimilarlo (en términos piagetianos) si carece de ciertos esquemas cognitivos y de experiencias previas?
La respuesta pudiera ser que "la solución de problemas no es un enfoque" (Eduardo Mancera, 1996) de enseñanza de la matemática. Es el centro de la actividad matemática. Pero una mala estrategia didáctica parece pretender que mediante la insistente solución se aprenden nuevos conocimientos, nuevas reglas, algoritmos y conceptos del lenguaje matemático. Parece que dicha estrategia de enseñanza está 'al revés', primero se resuelve y luego se aprende, de esta manera lo que más se logra es que el alumno memorice la metodología que le ayude a resolver problemas, sin que se le enseñe que esa metodología es general y aplicable a otros problemas.
Por su parte, Mayer (citado por Echeverría, 1998) menciona que los pasos descritos por George Polya se reducen a dos grandes procesos: la traducción y la solución, donde no sólo es necesaria la puesta en marcha de reglas y pasos más o menos ordenados, sino que el proceso de solución exige que una persona comprenda y traduzca la situación problemática a una serie de expresiones y símbolos matemáticos; es decir, la solución de un problema exige "la utilización de un lenguaje matemático que permita interpretar la realidad circundante" (Mayer, 1986) para posteriormente hacer uso de hechos, técnicas y destrezas.
Luego, entonces, se proponen tres ejes de enseñanza concretos y objetivos previos a la solución de problemas de matemática, que incluyen este último como un eje más, formando así cuatro ejes para la enseñanza de la matemática en secundaria.
Las actividades como la memorización, el aprendizaje de algoritmos y el aprendizaje de conceptos son comúnmente desarrolladas con los alumnos desde el nivel de educación primaria y quizá, incluso, desde el preescolar, mas no se cae en la cuenta de que también son útiles e importantes en niveles superiores de enseñanza y, sobre todo, son necesarios para alcanzar los propósitos planteados por los planes y programas oficiales.
Situación deseable
Son diversos tanto los autores como los intentos por clasificar las conductas y las actividades mentales inmersas en el aprendizaje de la matemática. Por ejemplo, Richard Skemp (1993) examina los procesos que hay que adoptar al operar con matemática, tales como: la formación de conceptos matemáticos, la idea de un esquema, el comportamiento inteligente, el uso de símbolos y los factores emocionales e interpersonales.
George Polya (1945), por su parte, examina el proceso heurístico y no axiomático de resolución de problemas e influye en el diseño de un esquema general de resolución de cuatro pasos y aplicable a diversas áreas.
M. L. Brown (1979) cita cuatro tipos de aprendizaje matemático, a saber: la memorización simple, el aprendizaje algorítmico, la formación del lenguaje y la resolución de problemas.
Este último esquema es motivo de atención pues señala con toda prontitud las estrategias de enseñanza que bien se pueden aplicar por razones que se exponen a continuación.
Es oportuno señalar que actualmente se adoptan cuatro ejes para la enseñanza de las asignaturas de español y lengua extranjera en secundaria, lo que representa un enfoque integral y equilibrado, pues en experiencias anteriores se privilegiaba el análisis estructural y se descuidaban otros aspectos que fomentan el uso de la lengua. Por esta razón se proponen cuatro ejes en los nuevos planes y programas de educación secundaria (sep, 1993) para la enseñanza de dichas asignaturas.
Paradójicamente, en la enseñanza de la matemática se han descuidado tres ejes muy importantes: la memorización, el aprendizaje de algoritmos y la formación de conceptos del lenguaje matemático, y se estimula únicamente la solución de situaciones problemáticas.
No necesariamente se deben establecer cuatro ejes para la enseñanza (al igual que en español y lengua extranjera). Por eso se han señalado las conductas y las actividades mentales propuestas por Skemp y Polya; simple y sencillamente se proponen cuatro ejes porque se hallan fuertemente ligados en el proceso de aprendizaje (Orton, 1996) de la matemática.
Retención y memoria
Se pretende que los alumnos desde edades muy tempranas sean capaces de memorizar distintas cualidades y características que le son propias a la matemática, por ejemplo:
. Palabras (cateto, isósceles, factor, longitud, etcétera).
. Símbolos (+, %, <, _, √, etcétera).
. Fórmulas.
. Reglas (uso de los símbolos de agrupación, jerarquía de las operaciones, etcétera).
La memorización no se debe entender como poderes que son mejorados con la simple ejercitación de hechos, conceptos o algún material de manera arbitraria y sin sentido. Ahora el valor del ejercicio estriba en la significatividad (Ausubel, citado por Ontoria y Cols., 2000) y relevancia del material por memorizar.
Las investigaciones de varios psicólogos han concluido que poseemos memoria a corto plazo y memoria a largo plazo. Ciertamente, los profesores de matemática necesitamos que nuestros alumnos hagan memorización a largo plazo junto con una inmediata memorización. La dificultad radica en cómo conseguirlo.
La retención y la memorización son más fáciles si lo que se ha aprendido es significativo en relación con la estructura de conocimientos ya existentes en la mente (Orton, 1996) del que aprende. La pregunta que subyace en esta proposición es: ¿Qué se puede hacer por los alumnos que no tienen ciertas estructuras de conocimiento? Quizá la clave en este cuestionamiento pudiera radicar en la memorización de símbolos y palabras de matemática, en una primera fase.
El caso de las relaciones de orden de los números y la ley tricotómica es interesante pues los símbolos y las palabras -propios del lenguaje matemático- son en cierta forma arbitrarios y por eso deben aprenderse memorísticamente. De igual forma, las demostraciones geométricas de los teoremas contienen muchos signos y palabras que también deben memorizarse.
El significado de las palabras por memorizar se halla en las relaciones del contenido y el objetivo de una unidad temática. Por ejemplo, la relación de orden y las demostraciones geométricas con las palabras y signos que estos temas conlleva. En resumen, la enseñanza de la matemática frecuentemente requiere del lenguaje especial que para ella se ha estructurado y, en ocasiones, se tiene que recurrir a la memorización.
No todo el aprendizaje de los conceptos debe ser por memorización, más bien hay un conjunto de símbolos y palabras que requieren este tratamiento. Otras palabras y expresiones del lenguaje matemático requerirán diverso tratamiento; pero esto se apuntará más adelante.
Otra de las circunstancias del uso de una palabra es que en ocasiones se precisa memorizar, con anterioridad, otra; por ejemplo, la palabra triángulo y la importancia de su significado en las propiedades del mismo requiere de la memorización previa de la palabra ángulo.
Los símbolos matemáticos requieren todavía más del aprendizaje memorístico. Éste se logra por discriminación o mediante contraejemplos (Skemp, 1993).
En general, son diversas las formas de promover el aprendizaje memorístico. Existen recursos iconográficos, como estilos de caracteres, colores distintos, la colocación resaltada de ciertos elementos y las notas resumidas. Además, la frecuencia de los ejercicios, por ejemplo las operaciones aritméticas y la repetición tanto escrita como oral son muy importantes en la memorización.
Durante el aprendizaje de la matemática -y sobre todo en primer año de secundaria- pa-rece inevitable el aprendizaje memorístico (Brown, 1979) o por simple asociación.
Aprendizaje de algoritmos
Los profesores interesados en el aprendizaje de la matemática se abocan a enseñar por el empleo de algoritmos; para ejemplificar lo anterior se citan algunos casos:
. Multiplicación de enteros con decimales.
. Raíz cuadrada (método tradicional).
. Adición y sustracción de fracciones.
. Ecuaciones lineales.
Ciertamente, el empleo de algoritmos requiere de la memoria, pero aquí los alumnos deben recordar un procedimiento paso a paso (Orton, 1996). Algo preocupante en el empleo de algoritmos es que lo que los profesores esperan que sus alumnos recuerden y usen carece de significado para éstos y a veces resulta sumamente irrelevante.
Otro problema importante con el uso de algoritmos es que se enseñan demasiado pronto, antes de percatarse de su necesidad. Por ejemplo, enseñamos a resolver una ecuación mediante un algoritmo cuando bien pudo ser resuelta por tanteo.
Como en muchos aspectos del aprendizaje de la matemática, resulta difícil hallar un término medio entre la importancia o no de enseñar algoritmos, pues por un lado se han citado las dificultades que esto trae consigo pero por otro se destaca su importancia, por ejemplo, en la simple resolución de problemas en la escuela y fuera de ella. Podemos ver esto en los casos de la adición (mecánicamente si se quiere señalar así) de los artículos de una tienda, de la resta de los gastos de los ingresos de una familia, del cálculo de una superficie, etc.; y tantos otros casos donde finalmente se emplean algoritmos.
Aprendizaje de conceptos
Resulta amplia la investigación que se ha desarrollado recientemente entre los aspectos de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática y su relación con el manejo del lenguaje propio de esta ciencia.
Los casos de semejanza, simplificación y operaciones de fracciones y su relación con el concepto de fracción común, así como la dificultad de aprender estos temas si no se ha aprendido este concepto, han sido descritos brillantemente por Beyer (1998) en sus estudios con jóvenes de secundaria en Venezuela.
Otra investigación que recientemente se hizo sobre temas de álgebra es la descrita por Sonia Ursini. (1994) que demuestra con toda certeza la importancia del concepto de variable para tratar ecuaciones y funciones.
Los conceptos describen una regularidad o relación dentro de un grupo de hechos y son designados por un signo o símbolo (Novak, citado por Orton, 1996). Esta definición pudiera entenderse retrospectivamente, es decir, reflexionando sobre el concepto y su empleo implícito. Por ejemplo, para el concepto de paralelismo como dos líneas rectas que no tienen un punto en común o que nunca se cortan, se emplea el símbolo y.
Skemp (1993) ilustra el modo en que aprendemos conceptos con el ejemplo de un adulto nacido ciego y que mediante una operación logra el sentido de la vista; el autor dice que no existe modo alguno de enseñar (y aprender) el concepto de rectángulo por medio de una definición; solamente señalando objetos con esa forma el sujeto aprenderá por sí mismo la propiedad que es común a todos esos objetos.
En esa misma obra Skemp dice que el aprendizaje de conceptos también se logra (citando el mismo ejemplo del hombre ciego) con no-ejemplos o contraejemplos; así, los objetos, las formas y las figuras que no contrastan con la idea de rectángulo ayudarían a aclarar el concepto.
Como se ha intentado decir, los alumnos no siempre aprenden los conceptos por definiciones, pero es útil hacerse de un buen diccionario de matemática o una enciclopedia de matemática (que por cierto no hay muchas en español), principalmente el profesor, y si es posible también los estudiantes, para entrenar el repertorio de conceptos propios del lenguaje matemático.
Los conceptos de función, variable e identidad en trigonometría son difíciles de aprender y quizá la mejor forma de enseñarlos es por el empleo de funciones (por ejemplo), sin tratar de definir su significado de un modo abstracto (Orton, 1996). Así, mediante la manipulación constante de éste y otros conceptos, se puede llegar a una definición más formal o abstracta en los casos que mejor ejemplifiquen tal o cual concepto matemático.
Algunas ideas o conceptos pueden ser más abstractos que otros y por lo tanto más difíciles; Skemp (1993) indica al respecto que el concepto de fracción (corrientemente llamada quebrado) es mucho más difícil de lo que se ha creído y el concepto de conjunto es mucho más fácil. Por ello, es importante tener cuidado al tratar sobre ideas matemáticas abstractas.
El principal responsable de una definición en matemática es el profesor, porque él comunica el conocimiento matemático. Por su parte, la investigación va precisando ciertas ideas. Por ejemplo, el número uno se incluía como número primo y hoy se excluye de tal definición.
Resolución de problemas
Este eje se propone como la consecución de los tres anteriores y como un eje en sí mismo durante la enseñanza, pero nunca ajeno a los tres ejes vistos con anterioridad (de otro modo no se hubieran escrito estas ideas).
Una situación que implique la resolución de un problema no es la lista de ejercicios que se propone a final de un capítulo o al concluir un tema en algunos de los textos de matemática. Sí son importantes los ejercicios en términos de repetición y como forma de promover la memorización, pero aún no alcanzan ese carácter de problemas.
Las situaciones que requieren que los alumnos apliquen sus conocimientos matemáticos a situaciones reales o que surgen en la vida cotidiana y que por ende conllevan a la solución de problemas, podrían llamarse así: problemas de matemática.
Puede afirmarse que el objetivo de la memorización, del aprendizaje de algoritmos y el aprendizaje de conceptos es permitir al alumno operar con la matemática y por lo tanto resolver problemas (Orton, 1996).
Los problemas no son rutinarios; cada uno conforma en mayor o menor grado algo novedoso para el alumno.
La solución eficaz depende de los conocimientos (memoria, algoritmos y conceptos) que posea un alumno y de las redes que pueda establecer entre estos conocimientos, las destrezas de las que nos habló Polya y su utilización.
Se sabe que 'dar vueltas al problema' en la mente, probar líneas de investigación y utilizar así toda una gama de herramientas y métodos pueden resultar apropiados para el alumno.
Orton (1996) sostiene que la solución de un problema puede llegar después de un tiempo o de cierto alejamiento de éste, "como si el subconsciente, libre ya de los apremios de los intentos conscientes por resolverlo, siguiera experimentando con combinaciones de elementos" de esa base de conocimientos que tanto se ha dicho y que en definitiva se deben atender antes de enfrentar una situación problemática

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jueves, 17 de junio de 2010

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